Matematika Diskrit "Fungsi"

nahh post yg kedua aku nglanjutin lagiii bahas matematika diskrit yg Bab 2 tentang FUNGSI..check this out!! :D

FUNGSI

Di dalam matematika diskrit, fungsi juga menjadi peran penting di mata kuliah ini. Fungsi juga digunakan utk mendefinisikan struktur-struktur diskrit seperti sequense dan string, untuk mendiskripsikan lama waktu yang digunakan dan untuk memecahkan persoalan dengan komputer, atau di dalam ilmu komputer dikenal adanya fungsi rekursif, yaitu fungsi yang memanggil dirinya sendiri.  Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar fungsi yang dibutuhkan dalam matematika diskrit.

Definisi Fungsi :

1. Jika A dan B adalah himpunan, maka  fungsi f dari A ke B akan memetakan  ke tepat satu elemen B untuk setiap elemen A, ditulis f : A →  B yang artinya f memetakan A ke B, A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

2. Jika F adalah fungsi A ke B, maka A adalah domain dari f dan B adalah codomain dari f.  Jika f(a) = b maka b dikatakan sebagai image dari a dan a adalah preimage dari b. Range f adalah himpunan semua image dari elemen A. jika F adalah fungsi dari A ke B maka dikatakan bahwa F memetakan A ke B. 

3. Jika f1 dan f2adalah fungsi dari A ke R maka f1 + f2 dan f1f2 juga fungsi dari A ke R yang didefinisikan oleh :  

 (f1 + f2)(x) = f1 (x) + f2(x), 

 (f1 f2)(x) = f1 (x) f2(x) 

Contoh 3.1 : 

 f1 dan f2 adalah fungsi dari R ke R dimana f1 (x) = x.x dan f2 (x) = (x – x.x) maka 

(f1 + f2) (x) = f1 (x) + f2 (x) = x.x + (x – x.x) = x dan 

f1 f2 (x) = f1 (x) f2 (x) = xx(x – xx) = x3 – x4

Fungsi Satu ke Satu (One to One) dan Onto

1. Fungsi Satu ke Satu (One to One)  

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. 

Contoh 1.1 :  

f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,  f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

Contoh 1.2 : 

Misalkan f : Z ®Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu? 

jawab : f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ¹ 2. f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ¹ b, a – 1 ¹ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

2. Fungsi pada Onto 

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Contoh 2.1 : 

f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.  f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Misalkan f : Z -> Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada?

Jawab :  

f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

Fungsi berkoresponden satu-kesatu atau bijeksi (bijection)

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada onto.

Contoh : 

Fungsi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.  

Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada onto.

Fungsi Invers (Balikan)

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh :
f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Jawab:
Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.

Jawab:
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-kesatu,
sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi
yang not invertible.

Komposisi Dua Buah Fungsi

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh
(f o g)(a) = f(g(a))

Contoh :
1. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w,z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

2. Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f o g dan g o f .
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2

Fungsi-fungsi Khusus

1. Fungsi Floor dan Ceiling 

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Fungsi ceiling dari x: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas

Contoh : 

[3.5 ]= 3  [ 3.5] = 4  [ 0.5] = 0
[ 0.5] = 1 [ 4.8] = 4  [ 4.8] = 5
[– 0.5 ] = – 1 [– 0.5 ] = 0 [ –3.5] = – 4

2. Fungsi Modulo 

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m.

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 £ r < m.

Contoh :
25 mod 7 = 4                    15 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12              0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 × (–4) + 3 )


3. Fungsi Faktorial

4. Fungsi Eksponensial

5. Fungsi Logaritmik

6. Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. 

Contoh :

n! = 1 × 2 × … × (n – 1) × n = (n – 1)! × n. 

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

Basis : Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.
Rekurens : Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Akhirnya selesaii juga bab 2 tentang fungsi..ak ngejelasin materi diatas juga ambil dari bnyak referensi jadi silakan dipelajari dan dipahami..semoga bermanfaat buat kita semuaa yg baca materi inii.. :D





OctaviantiNurwiningtyas
A11.2011.06411
MatematikaDiskrit(A11.4310)
TeknikInformatika-S1
UDINUS

Matematika Diskrit "LOGIKA"

BAB 1 di Mata Kuliah Matematika Diskrit akan membahas tentang LOGIKA..
nahhh, sekarang aku bakalan bahas tentang inii. Dulu waktu kita SMA udh prnh kk dpet materi ini, cuma di universitas kita bahas materi ini "lagi" dan lebih dalam..
check this out!! :D

LOGIKA 
Matematika Diskrit punya pengertian yaitu ilmu matematika yang bakalan mempelajari tentang objek-objek diskrit. Di dalam logika akan membahas tentang banyak sub bab, antara lain : 

1. PROPOSISI

Proposisi bisa juga disebut sebagai statement   mempunyai pengertian yaitu sebuah nilai deklaratif yang memiliki satu kebenaran Benar (B) atau Salah (S). Beberapa contoh yang merupakan preposisi atau bukan preposisi : 

• 11 merupakan bilangan prima.
•  Hewan adalah salah satu jenis makhluk hidup di bumi.
• Jika 20 habis dibagi 4 maka habis dibagi 2 juga.
• Tyas pandai bermain basket atau futsal.
• Olahragalah secara teratur!!
• Semoga sukses dalam menggapai cita-cita mu. 

Kalimat deklaratif pertama dan kedua merupakan kalimat proposisi primitip(primitif) karena tidak memiliki kata penghubung sama sekali. Kalimat yang ketiga dan keempat merupakan kalimat proposisi majemuk(composite) karena memiliki kata penghubung "jika", "atau". Dan yang kalimat kelima dan keenam bukan kalimat proposisi.

Penghubung sendiri di dalam logika matematika ada 5 jenis penghubung, yaitu :

• Negasi (Negation) 

Negasi untuk berbagai macam proposisi, yang memiliki nilai kebenaran B/S, maka negasinya memiliki nilai kebenaran dari lawannya yaitu S/B.

• Konjungsi (Conjunction)

 Sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

• Disjungsi (Disjunction) 

 Proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

• Implikasi (Implication) 

Proposisi yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Proposisi p disebut sebagai anteseden(promis/hipotesa) dan proposisi q disebut sebagai konsekuen(konklusi/kesimpulan).

• Ekuivalen (Equivalence) 

 Proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

Di dalam matematika diskrit ini secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r  dan seperti ini permisalannya :

p : 6 adalah bilangan genap.

q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.  

r :  3+3 = 6

Untuk mendefinisikan p sebagai preposisi "6 adalah bilangan genap" , begitu dengan q dan r.

Dibawah ini adalah beberapa contoh proposisi majemuk dan notasi simbolik nya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut sebagai Ekspresi Logika.

Contoh 1.1 
Diketahui proposisi-proposisi sebagai berikut : 

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

maka

p ^ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p v q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p    : Hari ini tidak hujan 

 Contoh 1.2
 Diketahui proposisi-proposisi sebagai berikut :

p : Hari ini hujan

q : Hari ini dingin 

 maka

q v ~p   : Hari ini dingin atau tidak hujan

~p ^ ~q : Hari ini tidak hujan maupun dingin

~ (~p)   : Salah bahwa hari ini tidak hujan  

      2.  TABEL KEBENARAN

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya, dan caranya adalah menghubungkan dengan operator logika. Misalnya p dan q adalah proposisi, maka :
 (a) Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, maka selain itu nilainya salah.
 (b) Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, maka selain itu nilainya benar.
 (c) Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan bernilai salah jika p benar.

Contoh 2.1 
Diketahui :

p : 17 adalah bilangan prima

q : bilangan prima selalu ganjil

dari pernyataan diatas jelas sekali bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi.

p ^ q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil

maka pernyataan tersebut salah.

Kita bisa mempermudah untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran (truth table ). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dengan proposisi atomik.

Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, dan sebaliknya jika ia salah untuk semua kasus maka disebut kontradiksi. Pengertian dari kata "semua kasus" adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi mempunyai ciri di dalam tabel kebenaran pada kolom terakhir nilai nya hanya memuat T saja. Sedangkan proposisi kontradiksi dicirikan di dalam tabel kebenaran pada kolom terakhir hanya memuat nilai F saja.

   3. PREDIKAT/ FUNGSI PROPOSISI

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. P itu sendiri bisa disebut sebagai fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Sedangkan D adalah daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.

Sebuah predikat seringkali menyatakan tentang sebuah hubungan relasional antara konstanta, variabel dan fungsi. Berikut adalah simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat :

1. Simbol konstanta : a, b, c, d
2. Simbol variabel    : x, y, z, w
3. Simbol fungsi       : f, g, h
4. Simbol predikat   : P, Q, R, S

    4. HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Proposisi dalam hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b+c) = ab + bc , yaitu hukum distributif,sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, keekivalenan dapat dibuktikan dengan menggunakan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik.

    5. PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI)

Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat muncul berbentuk "jika p, maka q", seperti pada contoh dibawah ini :

 a. Jika adik lulus ujian, maka dia mendapat hadiah dari ayah.

 b. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri. 

Pernyataan berbentuk "jika p, maka q" semacam itu disebut sebagai proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk "jika p, maka q" disebut sebagai proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan  p -> q . Proposisi p disebut hipotesis (antesenden/premis/kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen).  

     6. VARIAN PROPOSISI BERSYARAT 

Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p -> q , yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari    proposisi asal p -> q.

Konvers (kebalikan) : q -> p

Invers                       : ~p -> ~q 

Kontraposisi             : ~q -> ~p

Contoh 6.1
 Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut : 

"Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya"

Jawaban :

Konvers       : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil
Invers           : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

    7. BIKONDISIONAL (BI-IMPLIKASI)

Proposisi bersyarat penting lainnya adalah berbentuk "p jika dan hanya jika q" yang dinamakan bikondisional atau bi-implikasi. Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk "p jika dan hanya jika q" disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p <--> q.

Contoh 7.1
 Dibawah ini proposisi majemuk bi-implikasi :

1. 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4
2. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang dan sebaliknya
3. Bandung terletak di Jawa Barat jika dan hanya jika Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia

    8. INFERENSI

Misalkan kita diberikan beberapa proposisi, kita dapat menarik kesimpulan baru dari deret proposisi tersebut. Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi tersebut disebut sebagai inferensi (inference). Di dalam matematika distrik terdapat sejumlah kaidah inferensi, beberapa diantaranya adalah :

1. Modus Ponen atau law of detachment  menyatakan bahwa jika hipotesis p dan pada implikasi p -> q benar, maka konklusi q benar.  
2. Modus Tollen  kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q ^ (p -> q) ] -> ~p. 
3. Silogisme Hipotesis kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p -> q) ^ (q -> r)] -> (p -> r).
4. Silogisme Disjungtif kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p v q) ^ ~p] -> q.
5. Simplifikasi  kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ q) -> p, yang dalam hal ini, p dan q adalah hipotesis, sedangkan p adalah konklusi. 
6. Penjumlahan kaidah ini didasarkan pada tautologi p -> (p v q) .
7. Konjungsi kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ^ (q)) -> (p ^ q) .

    9.  AKSIOMA, TEOREMA, LEMMA, COROLLARY 

Di dalam matematika maupun ilmu komputer kita sering menemukan kata Lemma dan Corollary.

Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.

Contoh Aksioma :

• Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan).
• Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui dua buah titik tersebut. 

Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorema adalah lemma dan corollary. 
Lemma adalah teorema sederhana yang digunakan dalam pembuktian dalam teorema lain. Lemma biasanya tidak menarik namun berguna pada pembuktian proposisi yang lebih kompleks.
Corollary adalah teorema yang dapat dibentuk lagnsung dari teorema yang telah dibuktikan, atau dapat dikatakan bahwa Corollary adalah teorema yang mengikuti teorema lain.

Contoh Teorema :

• Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi  tersebut sama besar.

Contoh Lemma :

•  Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n - 1 bilangan positif atau n - 1 = 0

Contoh Corollary :

•  Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut. 

" Nahh, materi diatas adalah sedikit banyaknya penjelasan tentang logika di dalam matematika diskrit. Aku nulis materi ini untuk kepentingan tugas kuliah ku dan semoga  bisa bermanfaat juga buat semua yg baca blog ku inii..
Mungkin segini aja yang bisa aku tulisin, besok aku bakal nglanjutin materi matematika diskrit lagii di minggu depann..
see youuu :D "


OctaviantiNurwiningtyas
A11.2011.06411
A11.4310 (MatematikaDiskrit)
Tek.Informatika-S1

this is me

Aku seorang gadis lajang #eaa yg akan menginjak umur 19th.. berkepribadian sederhana mungkinnn hahahaha.. Dilahirkan dari sepasang kekasih yang kini menjadi orangtua ku.. Mereka bernama Agus Windarto dan Nur Aeni dan biasanya aku dipanggil occa.. Aku pernah bersekolah di TK Assalamah dilanjutkan ke SDN Ungaran 01,03,06 dilanjutkan ke SMPIT Hidayatullah lalu ke SMAN 1 Ungaran dan saat ini aku bersekolah di UniversitasDianNuswantoro.. Di univ itu aku ambil jurusan TeknikInformatika di FakultasIlmuKomputer yang sekarang sudah di smt3.. Dan satu harapan ku adalah cepet lulus IPK nya bagus.. aminnn :D
kayaknya segini aja deh aku ngenalin siapa aku..
wassalam :D