Sistem Operasi

EVOLUSI SISTEM OPERASI

Sistem operasi merupakan sebuah penghubung antara pengguna dari komputer dengan perangkat keras komputer. Sebelum ada sistem operasi, orang hanya mengunakan komputer dengan menggunakan sinyal analog dan sinyal digital (silahkan cari sendiri apa itu sinyal analog dan sinyal digital). Seiring dengan berkembangnya pengetahuan dan teknologi, pada saat ini terdapat berbagai sistem operasi dengan keunggulan masing-masing. Untuk lebih memahami sistem operasi maka sebaiknya perlu diketahui terlebih dahulu beberapa konsep dasar mengenai sistem operasi itu sendiri.

Pengertian sistem operasi secara umum adalah pengelola seluruh sumber-daya yang terdapat pada sistem komputer dan menyediakan sekumpulan layanan (system calls) ke pemakai sehingga memudahkan danmenyamankan penggunaan serta pemanfaatan sumber-daya sistem komputer ( artikel bahan kuliah).

Menurut Wikipedia sistem Operasi adalah software pada lapisan pertama yang ditempatkan pada memeori komputer pada saat komputer dinyalakan. Sedangkan software-software lainnya dijalankan setelah Sistem Operasi berjalan, dan Sistem Operasi akan melakukan layanan inti umum untuk software-software itu.

Menurut Tanenbaum, sistem operasi mengalami perkembangan yang sangat pesat, yang dapat dibagi kedalam empat generasi :

1. Generasi Pertama (1945-1955)

Generasi pertama merupakan awal perkembangan sistem komputasi elektronik sebagai pengganti sistem komputasi mekanik, hal itu disebabkan kecepatan manusia untuk menghitung terbatas dan manusia sangat mudah untuk membuat kecerobohan, kekeliruan bahkan kesalahan. Pada generasi ini belum ada sistem operasi, maka sistem komputer diberi instruksi yang harus dikerjakan secara langsung.

2. Generasi Kedua (1955-1965)

Generasi kedua memperkenalkan Batch Processing System, yaitu Job yang dikerjakan dalam satu rangkaian, lalu dieksekusi secara berurutan.Pada generasi ini sistem komputer belum dilengkapi sistem operasi, tetapi beberapa fungsi sistem operasi telah ada, contohnya fungsi sistem operasi ialah FMS (Fortran Monitoring System) dan IBSYS. Jadi generasi komputer kedua ini merupakan generasi pertama dari sistem Operasi.

3. Generasi Ketiga (1965-1980)

Pada generasi ini perkembangan sistem operasi dikembangkan untuk melayani banyak pemakai sekaligus, dimana para pemakai interaktif berkomunikasi lewat terminal secara on-line ke komputer, maka sistem operasi menjadi multi-user (di gunakan banyak pengguna sekaligus) dan multi-programming (melayani banyak program sekaligus).

4. Generasi Keempat (Pasca 1980an)

Dewasa ini, sistem operasi dipergunakan untuk jaringan komputer dimana pemakai menyadari keberadaan komputer-komputer yang saling terhubung satu sama lainnya. Pada masa ini para pengguna juga telah dinyamankan dengan Graphical User Interface yaitu antar-muka komputer yang berbasis grafis yang sangat nyaman, pada masa ini juga dimulai era komputasi tersebar dimana komputasi-komputasi tidak lagi berpusat di satu titik, tetapi dipecah dibanyak komputer sehingga tercapai kinerja yang lebih baik.

Disini aku juga akan bahas sejarah sistem operasi dari DOS, Mac, Windows, BSD, sampai Linux.

1956

· GM-NAAI/O : Sistem operasi pertama ini digunakan pertama kali oleh General Motors pada komputer besar IBM 704. Namun, sistem ini tidak lebih hebat dari Batch Processing.

1969

· Unix : Sistem operasi modern pertama ini dikembangkan oleh Ken Thompson dan Dennis Ritchie yang saat itu membutuhkan sebuah platform yang cepat untuk game “Space Travel” mereka.

1973

· XeroxAlto : Sistem pertama dengan graphical interface yang hanya digunakan untuk penelitian sampai 1981

1980

· QDOS : Tim Paterson dari Seattle Computer menulis QDOS yang dibuat dari OS terkenal pada masa itu, CP/M. QDOS (Quick and Dirty Operating System) dipasarkan oleh Seatle Computer dengan nama 86-DOS karena dirancang untuk prosesor Intel 8086.

· Microsoft : Bill Gates dari Microsoft membeli lisensi QDOS dan menjualnya ke berbagai perusahaan komputer.

1981

· PC  DOS : IBM meluncurkan PC  DOS yang dibeli dari Microsoft untuk komputernya yang berbasis prosesor Intel 8086.

· MS  DOS : Microsoft menggunakan nama MS  DOS untuk OS ini jika dijual oleh perusahaan diluar IBM.

1983

· MS  DOS 2.0 : Versi 2.0 dari MS  DOS diluncurkan pada komputer PC XT.

1984

· System 1.0 : Apple meluncurkan Macintosh dengan OS yang diturunkan dari BSD UNIX. System 1.0 merupakan sistem operasi pertama yang telah berbasis grafis dan menggunakan mouse.

· MS DOS 3.0 : Microsoft meluncurkan MS DOS 3.0 untuk PC AT yang menggunakan chip Intel 80286 dan yang mulai mendukung penggunaan hard disk lebih dari 10 MB.

· MS DOS 3.1 : Microsoft meluncurkan MS DOS 3.1 yang memberikan dukungan untuk jaringan.

1985

· MS Windows 1.0 : Microsoft memperkenalkan MS­Windows, sistem operasi yang telah menyediakan lingkungan berbasis grafis (GUI) dan kemampuan multitasking. Sayangnya sistem operasi ini sangat buruk performanya dan tidak mampu menyamai kesuksesan Apple.

· Novell Netware : Novell meluncurkan sistem operasi berbasis jaringan Netware 86 yang dibuat untuk prosesor Intel 8086.

1986

· MS  DOS 3.2 : Microsoft meluncurkan MS  DOS 3.2 yang menambahkan dukungan untuk floppy 3.5 inch 720 KB.

1987

· OS/2 : IBM memperkenalkan OS/2 yang telah berbasis grafis, sebagai calon pengganti IBM PC DOS.

· MS  DOS 3.3 : Microsoft meluncurkan MS  DOS 3.3 yang merupakan versi paling populer dari MS DOS.

· Windows 2.0 : Windows versi 2.0 diperkenalkan.

· MINIX : Andrew S. Tanenbaum mengembangkan Minix, sistem operasi berbasis Unix yang ditujukan untuk pendidikan. MINIX nantinya menginspirasi pembuatan Linux.

1988

· MS  DOS 4.0 : Microsoft mengeluarkan MS DOS 4.0 dengan suasana grafis.

· WWW : Proposal World Wide Web (WWW) oleh Tim Berners Lee.

1989

· NetWare/386 (juga dikenal sebagai versi 3) diluncurkan oleh Novell untuk prosesor Intel 80386.

1990

· Perpisahan : Dua perusahaan raksasa berpisah, IBM berjalan dengan OS/2 dan Microsoft berkonsentrasi pada Windows.

· Windows 3.0 : Microsoft meluncurkan Windows versi 3.0 yang mendapat sambutan cukup baik.

· MS Office : Microsoft membundel Word, Excel, dan PowerPoint untuk menyingkirkan saingannya seperti Lotus 1 2 3, Wordstar, Word Perfect dan Quattro.

· DR DOS : Digital Research memperkenalkan DR DOS 5.0.

1991

· Linux 0.01 : Mahasiswa Helsinki bernama Linus Torvalds mengembangkan OS berbasis Unix dari sistem operasi Minix yang diberi nama Linux.

· MS DOS 5.0 : Microsoft meluncurkan MS DOS 5.0 dengan penambahan fasilitas full -screen editor, undelete, unformat dan Qbasic.

1992

· Windows 3.1 : Microsoft meluncurkan Windows 3.1 dan kemudian Windows for Workgroups 3.11 di tahun berikutnya.

· 386 BSD : OS berbasis Open Source turunan dari BSD Unix didistribusikan oleh Bill Jolitz setelah meninggalkan Berkeley Software Design, Inc (BSDI). 386 BSD nantinya menjadi induk dari proyek Open Source BSD lainnya, seperti NetBSD, FreeBSD, dan OpenBSD.

· Distro Linux : Linux didistribusikan dalam format distro yang merupakan gabungan dari OS plus program aplikasi. Distro pertama Linux dikenal sebagai SLS (Softlanding Linux System).

1993

· Windows NT : Microsoft meluncurkan Windows NT, OS pertama berbasis grafis tanpa DOS didalamnya yang direncanakan untuk server jaringan.

· Web Browser : NCSA memperkenalkan rilis pertama Mosaic, browser web untuk Internet.

· MS  DOS 6.0 : Microsoft memperkenalkan MS DOS 6.0 Upgrade, yang mencakup program kompresi harddisk DoubleSpace.

· Slackware : Patrick Volkerding mendistribusikan Slackware Linux yang menjadi distro populer pertama di kalangan pengguna Linux.

· Debian : Ian Murdock dari Free Software Foundation (FSF) membuat OS berbasis Linux dengan nama Debian.

· MS  DOS 6.2 : Microsoft meluncurkan MS DOS 6.2.

· NetBSD : Proyek baru OS berbasis Open Source yang dikembangkan dari 386BSD dibuat dengan menggunakan nama NetBSD.

· FreeBSD : Menyusul NetBSD, satu lagi proyek yang juga dikembangkan dari 386BSD dibuat dengan nama FreeBSD.

1994

· Netscape : Internet meraih popularitas besar saat Netscape memperkenalkan Navigator sebagai browser Internet.

· MS DOS 6.22 : Microsoft meluncurkan MS DOS 6.22 dengan program kompresi bernama DriveSpace. Ini merupakan versi terakhir dari MS DOS.

· FreeDOS : Jim Hall, mahasiswa dari Universitas Wisconsin River Falls Development mengembangkan FreeDOS. FreeDOS dibuat setelah Microsoft berniat menghentikan dukungannya untuk DOS dan menggantikannya dengan Windows 95.

· SuSE : OS Linux versi Jerman dikembangkan oleh Software und System Entwicklung GmbH (SuSE) dan dibuat dari distro Linux pertama, SLS.

· Red Hat : Marc Ewing memulai pembuatan distro Red Hat Linux.

1995

· Windows 95 : Microsoft meluncurkan Windows 95 dengan lagu Start Me Up dari Rolling Stones dan terjual lebih dari 1 juta salinan dalam waktu 4 hari.

· PC DOS 7 : IBM memperkenalkan PC DOS 7 yang terintegrasi dengan program populer pengkompres data Stacker dari Stac Electronics. Ini merupakan versi terakhir dari IBM PC DOS.

· Windows CE : Versi pertama Windows CE diperkenalkan ke publik.

· PalmOS : Palm menjadi populer dengan PalmOS untuk PDA.

· OpenBSD : Theo de Raadt pencetus NetBSD mengembangkan OpenBSD.

1996

· Windows NT 4.0 : Microsoft meluncurkan Windows NT versi 4.0

1997

· Mac OS : Untuk pertama kalinya Apple memperkenalkan penggunaan nama Mac OS pada Mac OS 7.6.

1998

· Windows 98 : Web browser Internet Explorer menjadi bagian penting dari Windows 98 dan berhasil menumbangkan dominasi Netscape Navigator.

· Server Linux : Linux mendapat dukungan dari banyak perusahaan besar, seperti IBM, Sun Microsystem dan Hewlet Packard. Server berbasis Linux mulai banyak dipergunakan menggantikan server berbasis Windows NT.

· Google : Search Engine terbaik hadir di Internet dan diketahui menggunakan Linux sebagai servernya.

· Japan Goes Linux : TurboLinux diluncurkan di Jepang dan segera menjadi OS favorit di Asia, khususnya di Jepang, China dan Korea.

· Mandrake : Gael Duval dari Brazil mengembangkan distro Mandrake yang diturunkan dari Red Hat.

1999

· Support : Hewlett Packard mengumumkan layanan 24/7 untuk distro Caldera, Turbo Linux, Red Hat dan SuSE.

· Corel Linux : Corel pembuat program Corel Draw, yang sebelumnya telah menyediakan Word Perfect versi Linux, ikut membuat OS berbasis Linux dengan nama Corel Linux dan yang nantinya beralih nama menjadi Xandros.

2000

· Mac OS/X : Mac OS diganti dengan mesin berbasis BSD Unix dengan kernel yang disebut sebagai Mac OS/X.

· Windows 2000: Microsoft meluncurkan Windows 2000 sebagai penerus Windows NT.

· Windows Me : Microsoft meluncurkan Windows Me, versi terakhir dari Windows 95.

· China Goes Linux : Red Flag Linux diluncurkan dari Republik Rakyat China.

· Microsoft vs IBM : CEO Microsoft Steve Ballmer menyebut Linux sebagai kanker dalam sebuah interview dengan Chicago Sun Times. Di lain pihak, CEO IBM Louis Gartsner menyatakan dukungan pada Linux dengan menginvestasikan $ 1 milyar untuk pengembangan Linux.

2001

· Windows XP : Microsoft memperkenalkan Windows XP.

· Lindows: Michael Robertson, pendiri MP3.com, memulai pengembangan Lindows yang diturunkan dari Debian. Nantinya Lindows berganti nama menjadi Linspire karena adanya tuntutan perubahan nama oleh Microsoft.

2002

· Open Office : Program perkantoran berbasis Open Source diluncurkan oleh Sun Microsystem.

· OS Lokal : OS buatan anak negeri berbasis Linux mulai bermunculan, diantaranya Trustix Merdeka, WinBI, RimbaLinux, Komura.

2003

· Windows 2003 : Microsoft meluncurkan Windows Server 2003.

· Fedora : Redhat mengumumkan distro Fedora Core sebagai penggantinya. Nantinya ada beberapa distro lokal yang dibuat berbasiskan Fedora, seperti BlankOn 1.0 dan IGOS Nusantara.

· Novell : Ximian, perusahaan pengembang software berbasis Linux dibeli oleh Novell, begitu juga halnya dengan SuSE yang diakuisisi oleh Novell.

· LiveCD : Knoppix merupakan distro pertama Linux yang dikembangkan dengan konsep LiveCD yang bisa dipergunakan tanpa harus diinstal terlebih dahulu. Distro lokal yang dibuat dari Knoppix adalah Linux Sehat dan Waroeng IGOS.

2004

· Ubuntu : Versi pertama Ubuntu diluncurkan dan didistribusikan ke seluruh dunia. Ada beberapa versi distro yang dikeluarkan, yaitu Ubuntu (berbasis Gnome), Kubuntu (berbasis KDE), Xubuntu (berbasis XFCE), dan Edubuntu (untuk pendidikan).

2005

· Mandriva : Mandrake bergabung dengan Conectiva dan berganti nama menjadi Mandriva.

2006

· Unbreakable Linux : Oracle ikut membuat distro berbasis Linux yang diturunkan dari Red Hat Enterprise.

· CHIPLux : Distro lokal terus bermunculan di tahun ini, bahkan Majalah CHIP yang lebih banyak memberikan pembahasan tentang Windows juga tidak ketinggalan membuat distro Linux dengan nama CHIPLux, yang diturunkan dari distro lokal PC LINUX dari keluarga PCLinuxOS (varian Mandriva). CHIPLux merupakan distro lokal pertama yang didistribusikan dalam format DVD.

2007

· Vista : Setelah tertunda untuk beberapa lama, Microsoft akhirnya meluncurkan Windows Vista. Windows Vista memperkenalkan fitur 3D Desktop dengan Aero Glass, SideBar, dan Flip 3D. Sayangnya semua keindahan ini harus dibayar mahal dengan kebutuhan spesifikasi komputer yang sangat tinggi.

2008

· 3D OS : Tidak seperti halnya Vista yang membutuhkan spesifikasi tinggi, 3D Desktop di Linux muncul dengan spesifikasi komputer yang sangat ringan. Era hadirnya teknologi 3D Desktop di Indonesia ditandai dengan hadirnya sistem operasi 3D OS yang dikembangkan oleh PC LINUX. Ada beberapa versi yang disediakan, yaitu versi 3D OS untuk pengguna umum serta versi distro warnet Linux dan game center Linux.

2010

· Windows7 : Sistem Operasi ini merupakan penyempurna dari sistem operasi yang di buat sebelumnya oleh microsoft. Bisa dikatakan bahwa sistem operasi ini merupakan sistem operasi terbaik yang ada pada saat ini.

Nah itu tadi sedikit penjelasan dari evolusi sistem operasi semoga bermanfaat :D

Matematika Diskrit "Aljabar Boolean"

ALJABAR BOOLEAN

Definisi

 Misalkan terdapat

-         Dua operator biner: + dan ×

-         Sebuah operator uner: ’.

-         B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ×, dan ’

-         0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. 

(B, +, ×, ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1. Closure:   (i)  a + b Î B   

                    (ii) a × b Î B     

2. Identitas:  (i)  a + 0 = a

                    (ii) a × 1 = a

                    

3. Komutatif: (i)  a + b = b + a

                                (ii)  a × b = b . a

4. Distributif: (i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

                                (ii)  a + (b × c) = (a + b) × (a + c)

                    

5. Komplemen[1]:  (i)  a + a’ = 1

                                         (ii)  a × a’ = 0

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:

  1. Elemen-elemen himpunan B,

  2. Kaidah operasi untuk operator biner dan

       operator uner,

  3. Memenuhi postulat Huntington.

Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean dua-nilai:

-         B = {0, 1}

-         operator biner, + dan ×

-         operator uner, ’

-         Kaidah untuk operator biner dan operator uner : 

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:

1.    Closure :  jelas berlaku

2.    Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:

(i)  0 + 1 = 1 + 0 = 1

(ii) 1 × 0  = 0 × 1 = 0

3.    Komutatif:  jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

4.    Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas  dengan membentuk tabel kebenaran:

(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

5.    Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:

    (i)  a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1

    (ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0 

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean. 

Ekspresi Boolean 

Misalkan (B, +, ×, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:

(i)   setiap elemen di dalam B,

(ii)  setiap peubah,

(iii) jika e₁ dan e₂ adalah ekspresi Boolean, maka e₁ + e₂, e₁ × e₂, e₁’ adalah ekspresi Boolean

Contoh:     

       0

                   1

                   a

                   b

                   a + b

                   a × b

                   a’× (b + c)

                   a × b’ + a × b × c’ + b’, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

Contoh:  a’× (b + c)

  jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

                 0’× (1 + 0) = 1 × 1 = 1

Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.

Contoh:

                   a × (b + c) = (a . b) + (a × c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .

Penyelesaian: 

Perjanjian: 

tanda titik (×) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:

(i)   a(b + c) = ab + ac

(ii)  a + bc = (a + b) (a + c)

                        (iii) a × 0 , bukan a0

Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,  ×, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti

                   ×   dengan  +

       +  dengan  ×

                   0  dengan  1

       1  dengan  0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. 

Contoh. 

(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1

(ii)  a(a‘ + b) = ab       dualnya a + a‘b = a + b 

Hukum-hukum Aljabar Boolean

Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bⁿ ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

                   f : B^{n  -->} B

yang dalam hal ini Bⁿ adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. 

•  Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
• Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah  f(x, y, z) = xyz + x’y + y’ 
• Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . 

 Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

1.    f(x) = x

2.    f(x, y) = x’y + xy’+ y’

3.    f(x, y) = x’ y’

4.    f(x, y) = (x + y)’

5.    f(x, y, z) = xyz’                                                                                                 

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.

Contoh:

 Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’. 

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian

Komplemen Fungsi

1.    Cara pertama: 

       Menggunakan hukum De Morgan

 Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x₁ dan x₂, adalah 

               

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka

    f ’(x, y, z)  = (x(y’z’ + yz))’

                           =  x’ + (y’z’ + yz)’

                           =  x’ + (y’z’)’ (yz)’

                                 =  x’ + (y + z) (y’ + z’)     

2.    2.       Cara kedua: 

       Menggunakan prinsip dualitas.

   Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka

dual dari  f:                                      x + (y’ + z’) (y + z)

komplemenkan tiap literalnya:          x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

         

Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)

Bentuk Kanonik

Ada dua macam bentuk kanonik:

1.    Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)

2.    Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 

1.  f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz  -->  SOP 

     Setiap suku (term) disebut minterm

2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)  --> POS

     Setiap suku (term) disebut maxterm

 Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap     

     

Contoh: 

 Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian :

     (a)   SOP

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah

f(x, y, z) =  x’y’z + xy’z’ + xyz

atau (dengan menggunakan lambang minterm),   

        

                                f(x, y, z) =  m₁ + m₄ + m₇ = å (1, 4, 7)

(b) POS

 Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010,  011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah

 f(x, y, z)  =  (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)

   (x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)

                                  

      atau dalam bentuk lain,                

                                 f(x, y, z) =  M₀ M₂ M₃ M₅ M₆ = Õ(0, 2, 3, 5, 6)     

Contoh :

Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:

     

(a) SOP

     x  = x(y + y’)

         = xy + xy’

         = xy (z + z’) + xy’(z + z’)

         = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

     y’z = y’z (x + x’)

           = xy’z + x’y’z

     Jadi  f(x, y, z)   = x + y’z

                                  = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z

                                  = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz

                       

       atau  f(x, y, z)   = m₁ + m₄ + m₅ + m₆ + m₇ = S (1,4,5,6,7)   

          (b) POS

          f(x, y, z) = x + y’z

                        = (x + y’)(x + z)

          x + y’ = x + y’ + zz’

                    = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

          x + z = x + z + yy’        

                  = (x + y + z)(x + y’ + z)

          Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)

                            = (x + y  + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

          atau f(x, y, z) = M₀M₂M₃ = Õ(0, 2, 3) 

Konversi Antar Bentuk Kanonik

Misalkan

f(x, y, z)      = S (1, 4, 5, 6, 7)

dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,

f ’(x, y, z) = S (0, 2, 3)  = m₀+ m₂ + m₃

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

    f ’(x, y, z)  = (f ’(x, y, z))’ = (m₀ + m₂ + m₃)’

                       = m₀’ . m₂’ . m₃’

                     = (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’

            = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)

            = M₀ M₂ M₃

            = Õ (0,2,3)

Jadi,  f(x, y, z) = S (1, 4, 5, 6, 7) = Õ (0,2,3).

Kesimpulan: m_j’ = M_j

Contoh.  Nyatakan

 f(x, y, z)= Õ (0, 2, 4, 5) dan

g(w, x, y, z) = S(1, 2, 5, 6, 10, 15)

dalam bentuk SOP dan POS

Penyelesaian:

          f(x, y, z)      = S (1, 3, 6, 7)             

        g(w, x, y, z)= Õ (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)

Contoh. 

Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’

Penyelesaian:

(a) SOP

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’

                       = y’ (x + x’) (z + z’) + xy (z + z’) + x’yz’

             = (xy’ + x’y’) (z + z’) + xyz + xyz’ + x’yz’

                       = xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’

atau f(x, y, z) = m₀+ m₁ + m₂+ m₄+ m₅+ m₆+ m₇        

(b) POS

          f(x, y, z)  = M₃ = x + y’ + z’        

Bentuk Baku                                                   

1. Tidak harus mengandung literal yang lengkap.

Contohnya,

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz  (bentuk baku SOP)

f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’)  (bentuk baku POS)

Aplikasi Aljabar Boolean

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

 Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. 

Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

      

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:

1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND

   

2.   Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR  

   

2. Rangkaian Logika

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh:

 f(x, y) = x’y + xy’ + y disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1.    Secara aljabar

2.    Menggunakan Peta Karnaugh

3.    Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

1.    f(x, y) = x + x’y

      = (x + x’)(x + y)

 = 1 × (x + y )

 = x + y

2.    f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

 = x’z(y’ + y) + xy’

 = x’z + xy’

3.    f(x, y, z) = xy + x’z + yz  = xy + x’z + yz(x + x’)

   = xy + x’z + xyz + x’yz

   = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

2.  Peta Karnaugh

a.  Peta Karnaugh dengan dua peubah

b. Peta dengan tiga peubah

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

c. Peta dengan empat peubah

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh

1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

Hasil Penyederhanaan:     f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

                                     = wxy(z + z’)

                                     = wxy(1)

                                     = wxy

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’

Hasil penyederhanaan:  f(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy

                                     = wx(z’ + z)

                                     = wx(1)

                                     = wx

Contoh lain:

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z

Hasil penyederhanaan:    f(w, x, y, z) = wy’

3.  Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ +

             wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

Bukti secara aljabar:

                    f(w, x, y, z) = wy’ + wy

                                      = w(y’ + y)

                                      = w

Peta Karnaugh untuk lima peubah 

Contoh:

(Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari  f(v, w, x, y, z) = S (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)

Jawab:

          Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:

OctaviantiNurwiningtyas

A11.2011.06411

MatematikaDiskrit(A11.4310)

TeknikInformatika-S1

UDINUS